Braiding of differential forms and homotopy types

Let k be an arbitrary commutative ring. We associate fonctorially to any simplicial set X a differential graded algebra Ŵ∗(X) with a globally defined braiding, which is an improvement of a previous work [3,4]. If k= Z and with some mild finiteness conditions on X, we show that the quasi-isomorphisms class of Ŵ∗(X) as a braided differential graded algebra determines the p-adic homotopy type of X for all the prime numbers p, and also the rational homotopy type. As in [3,4], the proof uses some recent results of M.A. Mandell [5,6].  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Tressage des formes différentielles et types d’homotopie Résumé. Soit k un anneau commutatif arbitraire. Nous associons de manière fonctorielle à un ensemble simplicial X une algèbre graduée Ŵ∗(X) avec un tressage défini de manière globale, ce qui améliore les conclusions d’un travail précédent [3,4]. Si k = Z et sous des hypothèses de finitude raisonnables sur X, nous montrons que la classe de quasiisomorphisme de l’algèbre différentielle graduée tressée 1 Ŵ∗(X) détermine le type d’homotopie p-adique de X pour tout nombre premier p, ainsi que le type d’homotopie rationnel. Comme dans [3,4], la démonstration utilise quelques résultats récents de M.A. Mandelle [5,6].  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée 1. Formes différentielles quantiques sur la droite affine Soit k un anneau commutatif arbitraire. Nous désignons par Λ l’algèbre du type ∑s r=−∞αrq r , αr ∈ k, munie de la valuation définie par le plus petit entier r tel que α−r 6= 0 (et de la topologie ultramétrique associée). SoitW(t) la sous-algèbre de Λ[[t]] constituée des séries formelles f(t) = ∑∞ n=0 ant , an ∈Λ, telles que, pour tout s> 0, les coefficients anq tendent vers 0 lorsque n→∞ et vérifient l’identité 2 :